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La "scienza esatta" per eccellenza, la matematica, non riesce a dare
una risposta univoca alla domanda se 0 sia oppure no un numero
naturale! Questo fatto può lasciare perplessi anche studiosi assai
più esperti del giovane studente che desidera chiarimenti
sull'argomento. Siamo infatti abituati a definizioni opportunamente
rigide, che non lasciano spazio ad ambiguità o equivoci; per esempio
"si dice rettangolo un quadrilatero con quattro angoli retti":
questa frase non lascia dubbi su che cosa sia un rettangolo e che
cosa non lo sia. In effetti il problema qui sollevato riguardo allo
zero non è molto grave. Non si mettono in dubbio le proprietà o il
comportamento di questo numero nelle operazioni; semplicemente si
vuole stabilire se 0 appartenga oppure no ad un insieme denotato con
un determinato simbolo. Il dilemma sussiste in effetti più per
l'insieme N dei numeri naturali, che per l'insieme Z dei numeri
interi. Ebbene, 0 è un numero naturale, si o no?
La descrizione assiomatica dei numeri naturali, dovuta al matematico
piemontese Giuseppe Peano (1858-1932) poggia essenzialmente sul
concetto di "successivo": intuitivamente, per spiegare "che cosa
sono" i numeri naturali si stabilisce che:
*
0 (oppure 1: ecco il "dilemma") è il primo numero naturale.
** gli altri numeri naturali sono quelli che si ottengono
addizionando ripetutamente 1 al primo numero; se siamo partiti da 0
abbiamo quindi
1
= "il successivo di 0" (intuitivamente, 0+1) 2 = "il successivo di
1" (intuitivamente, 1+1) 3 = "il successivo di 2" (intuitivamente,
2+1)
eccetera.
L'assioma fondamentale è che di ogni numero naturale esista il
successivo, e che questo non sia in nessun caso un numero già
incontrato in precedenza.
L'idea non cambia se anziché partire da 0 si parte da 1;
semplicemente ci si sposta di un gradino. La scelta di partire da 0
oppure da 1, sulla quale i matematici non sono unanimi, trae origine
dalle diverse applicazioni, per alcune delle quali risulta più
conveniente la prima scelta, mentre la seconda è più vantaggiosa per
altre. Quando i numeri naturali sono utilizzati come "cardinali",
cioè per contare è ragionevole comprendere fra di essi anche
zero. Se si deve, per esempio, fare una statistica su quante volte
in un anno ciascun abitante di una determinata città va dal medico,
la risposta che ogni intervistato darà è un numero intero positivo,
oppure zero: è quindi necessario prevedere fra le risposte
ammissibili anche zero. Invece, quando i numeri naturali hanno il
ruolo di ordinali, cioè servono per stabilire un ordinamento
fra elementi di un dato insieme, è normale partire da 1: la
graduatoria di una gara, per esempio, di corsa, inizia dal 1°
classificato, poi il 2°, eccetera; non c'è alcun classificato al
posto 0. L'uso comune pone tuttavia un'eccezione a quest'ultima
"regola": i piani delle case sono indicati con denominazione
"ordinale": primo piano, secondo piano, ecc.; ma sotto al primo
piano c'è il piano terra, al quale è naturale associare il numero
0. In effetti la pulsantiera dell'ascensore inizia da zero (e a
volte anche da -1, se l'ascensore ha la possibilità di condurci fino
in cantina). Concludendo, speriamo di avere chiarito che non è un
vero problema se zero sia o no un numero naturale. Importante è
conoscere le proprietà di questo numero e degli altri, rispetto alle
operazioni: per esempio, ogni numero addizionato a zero rimane
invariato; ogni numero moltiplicato per zero dà come prodotto zero.
Rimane la scomodità di non avere mai la certezza, quando si consulta
un testo di matematica, se con un certo simbolo, sia questo N, N*, N0,
si intenda denotare i numeri naturali con primo elemento 0, oppure
1. Per questa ragione molti libri di matematica riportano, in
genere in seconda o terza di copertina o in introduzione, l'"elenco
dei simboli", cioè quale significato sia assegnato in quel libro
a ciascun simbolo.
Paolo Negrini - Dipartimento di Matematica dell'Università di
Bologna
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