Discesa infinita di Fermat e Buon Ordinamento

Salve Prof Math,

 sono solo un cultore autodidatta, mi chiedevo come inquadrare meglio il metodo della discesa infinita di Fermat e il principio del Buon Ordinamento.   In sostanza, mi pare che il metodo sottostante sia abbastanza simile:   Data una proprietà P(n) indico con V l'insieme dei valori di n per cui P(n) diventa vera e con F l'insieme dei valori per cui P(n) è falsa. Dal principio del buon ordinamento so che ogni insieme ordinato (si parla tacitamente di numeri naturali o interi) ha minimo e quindi scopro che o F è vuoto o arrivo a una contraddizione.   Ho capito bene o sono proprio fuori strada ?

 Il “principio del buon ordinamento” afferma che “Ogni insieme di numeri naturali non vuoto ha un minimo, cioè un numero più piccolo di tutti gli altri”.

Ricordiamo che il “principio del buon ordinamento” è equivalente al “principio di induzione”, nel senso che è possibile dimostrare uno dei due assumendo come assioma l’altro.

Il metodo di discesa infinita di Fermat consiste nel provare che una certa proprietà P(n) (n numero naturale) non è vera, facendo vedere che se fosse vera per un certo numero naturale n essa sarebbe vera per un numero naturale m inferiore a n (m<n). Ma allora indicando con V l’insieme dei numeri naturali per cui la proprietà P(n) è vera ,  V sarebbe un sottoinsieme dei numeri naturali non vuoto e privo di minimo, il che contrasta con il principio del buon ordinamento. Quindi V è vuoto.

Per ulteriori approfondimenti sul metodo di discesa infinta di Fermat si rimanda alla domanda specifica già inserita nella rubrica.

   Valter Roselli - Dipartimento di Matematica - Università di Ferrara