Esistono triangoli rettangoli i cui lati sono in progressione aritmetica ?

 E in progressione geometrica ? 

Supponiamo che i lati di un triangolo rettangolo siano in progressione aritmetica. Indicata con x la misura del cateto maggiore e con y ( > 0 ) la ragione, x-y è la misura del cateto minore e x+y la misura dell’ipotenusa. Per il teorema di Pitagora è allora

da cui svolgendo

e quindi

  ossia  .

Poiché x0 è necessariamente x=4y e i lati del triangolo rettangolo misurano

3y,4y,5y .

Quindi esistono infiniti triangoli rettangoli con i lati in progressione aritmetica e le misure di tali lati sono date dalle terne pitagoriche derivate dalla terna 3,4,5.

 Supponiamo adesso che i lati di un triangolo rettangolo siano in progressione geometrica. Indicata con x la misura del cateto maggiore e con y (> 1) la ragione, avremo che x/y è la misura del cateto minore e xy la misura dell’ipotenusa.

Per il teorema di Pitagora è allora    

ossia                 

o anche             

da cui        e quindi    .

In definitiva è      

Quindi esistono infiniti triangoli rettangoli i cui lati sono in progressione geometrica, ma hanno tutti la stessa ragione e le misure di tali lati sono espresse da     

dove x è un qualunque numero reale positivo.

Si osservi che     

  e che    

è la misura della sezione aurea di un segmento di lunghezza unitaria.
 

Valter Roselli - Dip. di Matematica di Ferrara.