Frazioni con numeratore uguale

Su alcuni testi di matematica della scuola primaria si dice che è possibile il confronto fra frazioni con il numeratore uguale, su altri si parla soltanto di confronto fra unità frazionarie ... qual è la posizione corretta?

Naturalmente il confronto tra frazioni (ossia, stabilire quale fra due frazioni è maggiore e quale minore) è sempre possibile, qualsiasi siano i numeratori e i denominatori. Il confronto fra due frazioni è ricondotto al confronto fra i numeratori, quando si siano espresse le frazioni con un comune denominatore. Per esempio, per confrontare 2/5 e 7/17 scriveremo 2/5 = 34/85, 7/17 = 35/85, e in questo modo riconosceremo che 2/5 è minore di 7/17.

 Il confronto fra due frazioni è immediato (ossia, non occorre la riduzione ad un denominatore comune) anche se le due frazioni hanno lo stesso numeratore. In questo caso il confronto fra le frazioni è nell'ordine inverso a quello in cui si trovano i denominatori: per esempio, 3/7 < 3/5, perchè 5 < 7. In particolare questa regola è valida quando i numeratori sono uguali a 1.

 Nel caso di alunni della scuola primaria va considerato il fatto che essi non conoscono ancora le regole di calcolo con le frazioni; quindi non è possibile illustrare loro la regola generale di confronto mediante riduzione al denominatore comune.

Il confronto tra frazioni con lo stesso numeratore (in particolare, con numeratore uguale a 1) poggia su considerazioni più elementari, accessibili anche a chi non ha conoscenze sul calcolo con le frazioni: dividendo la stessa quantità di qualcosa (per esempio: tre pizze) fra 7 ragazzi, si formano "porzioni" più scarse di quelle che si avrebbero se gli invitati alla merenda fossero soltanto 5; dunque 3/7 < 3/5.

Questo ragionamento appare ancora più palese nel caso in cui il numeratore sia 1, vale a dire quando ciò che si divide è "l'intero": considerazioni analoghe a quelle su esposte convincono chiunque che 1/7 < 1/5.

 Non c'è pertanto una posizione "più corretta"; sarà l'insegnante a decidere quali esempi siano più adeguati ai suoi alunni, consapevole del fatto che solo più avanti nel corso dei loro studi essi apprenderanno le regole per risolvere completamente il problema del confronto tra frazioni.

 Ricordiamo per inciso che le "frazioni unitarie" (cioè, con numeratore 1) hanno un ruolo fondamentale nell'aritmetica degli antichi egizi, i quali (tranne poche eccezioni) non utilizzano mai frazioni con numeratori diversi da 1, rendendo a volte i loro calcoli inutilmente complicati, ai nostri occhi. Si tratta di una conferma storica di quanto queste frazioni appaiano più accessibili all'intuizione, rispetto a quelle con numeratori arbitrari.

Paolo Negrini – Dipartimento di Matematica – Università di Bologna