Equazione del piano e vettori

 Gentile Prof. Math, è possibile ricavare l'equazione del piano nello spazio cartesiano senza ricorrere all'uso dei vettori? Se si come si procede?

Il problema principale è: che cosa è un piano?

 Nella geometria euclidea lo consideriamo come un "concetto primitivo", e quando lo si studia nel piano cartesiano si arriva alla sua equazione tipica partendo dal fatto che un piano nello spazio un piano lo si considera come determinato da un vettore direzione ad esso perpendicolare e da un suo punto.

Per evitare di parlare di vettori, una possibilità può essere questa: 

Possiamo considerare un piano p come il luogo dei punti dello spazio equidistanti da due punti dati, ad esempio: 

A= (x₀, y₀, z₀) ;  B=(x₁, y₁, z₁) .  

 Se assumiamo di avere a disposizione la formula della distanza fra due punti (che possiamo anche ricavare tramite teorema di Pitagora, senza usare il prodotto scalare fra vettori), la condizione di appartenenza a p per un punto generico P = (x, y, z) diviene:   d(A, P)= d(B, P) , cioè:

 

Che, eseguendo un po’ di conti, dà:

da cui:

ed infine, ponendo:
 
,

si ricava la formula generale dell’equazione di un piano:

ax+ by+ cz+ d = 0.

Notiamo che la costruzione ha, ovviamente, senso solo se  A  e B non sono lo stesso punto, il che equivale a dire che non siamo nel caso  a = b = c = 0.

 Alessandro Gimigliano - Dipartimento di Matematica – Università di Bologna