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La domanda, tutt'altro che banale,
"che cosa é pi greco" non ha una risposta univoca. Pi greco (d'ora
in poi: π) è il "nome proprio" di un numero reale positivo, compreso
fra 3 e 4.
Il privilegio riservato a π, di avergli dedicato una lettera
unanimemente riconosciuta come suo nome proprio, é dovuto alla
grande importanza di questa costante, non solo nella geometria
elementare. In effetti, ben pochi numeri hanno un "simbolo" ad essi
specificamente dedicato. É così quasi esclusivamente per i primi
dieci numeri interi (zero, uno, ... nove): i simboli sono ovviamente
le cifre 0, 1, ... , 9; ogni altro numero intero si esprime mediante
un "codice" (la rappresentazione decimale) che utilizza
convenientemente quei dieci simboli e le operazioni di addizione e
moltiplicazione; lo stesso avviene per le frazioni, cioè i numeri
razionali, utilizzando anche la divisione. Per esempio, 3/5 e 0,6
sono due rappresentazioni di uno stesso numero razionale non intero.
I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri che non possono
essere rappresentati da una scrittura (di lunghezza finita) che
utilizza quei dieci simboli e le operazioni di addizione,
moltiplicazione e divisione.
I più semplici numeri irrazionali si riescono a caratterizzare
tramite una loro proprietà algebrica; ecco due esempi.
1) "il numero positivo che
moltiplicato per sé stesso dà 2"
2) "la soluzione dell'equazione x5
+ x = 1"
É possibile dimostrare i numeri reali
soddisfacenti (1) e (2) esistono e sono unici.
Per il primo si usa un simbolo apposito (la radice quadrata); qui,
per semplicità tipografica scriveremo
Ö2.
Si noti tuttavia che Ö2,
diversamente da 3/5, non fornisce un metodo di calcolo del valore
del numero in questione, cioè delle sue cifre decimali, ma soltanto
un'abbreviazione "stenografica" della frase (1) che definisce la
radice quadrata di 2.
Per il secondo non disponiamo di alcun simbolo: tale numero, pur
bene caratterizzato dalla frase (2) non può essere descritto da
un'espressione contenente addizioni, moltiplicazioni, radici; né si
ritiene utile creare un nuovo simbolo per denotarlo; tuttavia la
frase (2) lo individua univocamente, quando si sia dimostrata
esistenza e unicità della soluzione dell'equazione di (2).
Ritorniamo a parlare di π. La definizione più elementare di π è "il
rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro".
Questa definizione, intuitivamente chiara, cela difficoltà
concettuali non trascurabili; la principale é la "rettificazione
della circonferenza", ossia il problema di misurarne la lunghezza a
confronto con una unità di misura "fisicamente" rettilinea. In
maniera più o meno esplicita, ciò comporta il ricorso a una delle
nozioni più delicate della matematica: quella di limite. Fin
dell'antichità infatti si parla di approssimazioni della lunghezza
della circonferenza con perimetri di poligoni regolari inscritti e
circoscritti, e si nota che l'approssimazione migliora al crescere
del numero dei lati.
Superato questo non trascurabile ostacolo, ossia stabilito che ha
senso parlare di lunghezza della circonferenza, definiamo π, come
già detto, come "il rapporto fra la lunghezza della circonferenza e
il suo diametro".
Si tratta di una caratterizzazione assai diversa da quella dei
numeri degli esempi (1) e (2), descritti da relazioni algebriche.
Ebbene, non é possibile caratterizzare π attraverso una relazione
algebrica. Precisamente:
Non esiste alcun polinomio avente per coefficienti numeri interi, di
cui π sia radice.
Questa proprietà si esprima dicendo che "π é trascendente".
Paolo Negrini-Dipartimento di
Matematica Università di Bologna |
