La prova del nove

La figlia di un'amica che frequenta la quarta elementare in una scuola privata, è tornata da scuola con la prova del nove dell'addizione, ma noi adulti non abbiamo memoria di questa prova e la bambina non avendola capita non ha saputo indirizzarci...chiedo gentilmente a lei se può soddisfare questo quesito.

La "prova del nove" è un metodo per controllare l'esattezza del risultato di una operazione fra numeri naturali (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione). La prova del nove si applica all'addizione, sottrazione, moltiplicazione in modo estremamente semplice; leggermente più complessa è l'applicazione alla divisione, a causa della possibile presenza del resto. Descriviamo brevemente in che cosa consiste la prova del nove.

Assegnato un numero naturale «n», rappresentato come di consueto in base 10, indichiamo con R(n) il numero intero compreso tra 0 e 8 ottenuto come segue: si addizionano le cifre di «n»; se il risultato è un numero di due o più cifre, nuovamente se ne addizionano le cifre, e così via, fino ad ottenere un numero di una sola cifra.  Se il numero ottenuto è 9, allora definiamo

R(n)=0; altrimenti R(n) è il numero di una cifra che si è ottenuto.  Per esempio:

1) Quanto vale R(6385)?  Eseguiamo le operazioni sopra descritte.

6385 ® 6+3+8+5 = 22 ® 2+2 = 4.  Dunque R(6385) = 4

2) Quanto vale R(954621)?  Eseguiamo le operazioni sopra descritte.

954621 ® 9+5+4+6+2+1 = 27 ® 2+7 = 9 ® 0.  Dunque R(954621) = 0.

 (si può dimostrare che R(n) è in resto della divisione di n per 9; accenneremo dopo al motivo di ciò).

 LA PROVA DEL 9 PER ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE

Siano m, n i due numeri fra i quali va eseguita l'operazione Per rendere più chiara la descrizione, consideriamo un caso concreto:

m=277, n=3498

Si calcola normalmente il risultato dell'operazione; pensiamo per esempio alla moltiplicazione m´n; se m ed n sono i numeri su indicati, calcoliamo

277´3497=968669.

Si calcolano poi i numeri R(m), R(n), R(m.n). Attualmente questi sono: R(277)=7, R(3497)=5, R(968669)=8

Infine si calcola

R(m) ´R(n), ed al risultato ottenuto si applica eventualmente ancora la regola descritta sopra, per giungere ad un valore compreso fra 0 e 8; cioè si calcola R(R(m) ´R(n)). Nel caso attuale calcoleremo R(7´5)=R(35)=3+5=8 Ebbene, se il risultato dell'operazione m´n è stato calcolato esattamente, quest'ultimo numero sarà uguale a R(m´n). Nell'esempio da noi considerato abbiamo infatti ottenuto R(m´n)=8, ed anche R(R(m)´R(n)).

IMPORTANTE: il mancato riscontro della prova del nove dà la certezza della presenza di qualche errore nei calcoli; viceversa è falso, ossia il riscontro dell'uguaglianza fra R(m´n) e R(R(m) ´R(n)) potrebbe avere luogo anche in presenza di un valore errato di m´n.  Un caso tipico di questo fatto è lo scambio di due cifre del risultato: se come valore di 277´3497 avessimo scritto il numero 986669 (sbagliato, avendo la seconda e la terza cifra scambiate, rispetto al risultato esatto), la prova del nove non ci avrebbe manifestato l'errore, perchè anche R(986669)=8, come per il risultato esatto.

In altre parole, il riscontro della prova del nove è una condizione NECESSARIA MA NON SUFFICIENTE per l'esattezza del risultato.  Con parole meno tecniche si può dire che, se il calcolo è stato eseguito con attenzione e la prova del nove "torna", allora il risultato è molto probabilmente esatto. 

Per comodità di lettura si usa annotare i quattro numeri R(m), R(n), R(m´n), R(R(m) ´R(n)) schierati in una tabella quadrata: i primi due nella riga superiore, gli altri nella riga inferiore; così la prova riesce se i due numeri nella riga inferiore sono uguali fra loro.

Secondo lo stesso principio si può condurre la prova del nove per un'addizione: se si calcola correttamente m+n, allora risultano uguali i numeri

R(m+n) e R(R(m)+R(n)).

Per esempio, 277+3497=3774; ebbene:

R(277)=7; R(3497)=5; R(R(277)+R(3497))=R(7+5)=R(12)=3;

risulta infatti anche

R(3774)=3.

Tuttavia la prova del nove per l'addizione trova scarsa applicazione pratica, perchè, come nel caso della moltiplicazione, non costituisce prova certa dell'esattezza del risultato; inoltre i calcoli necessari per la prova del nove per un'addizione sono in pratica laboriosi quanto l'esecuzione dell'addizione; conviene allora ripetere addirittura il calcolo dell'addizione, magari scambiando l'ordine degli addendi: se il risultato ottenuto la seconda volta coinciderà con quello ottenuto la prima volta, saremo praticamente certi delle sua esattezza, con maggiore affidabilità rispetto alla prova del nove.

LA PROVA DEL 9 PER LA DIVISIONE

S'intende qui la "divisione intera" di un numero naturale m per un numero naturale n<m, volta a determinare due numeri naturali q, r (quoziente e resto) tali che 0<=r<n,   e   m = n´q + r.  Per esempio, il quoziente e il resto della divisione 7433:192 sono rispettivamente q=38 e r=137; infatti 7433 = 192´38 + 137

La prova del nove per la divisione consiste nel verificare che sono uguali i numeri

R(m)  e R(R(n) ´R(q)+R(r)).

Eseguiamo questo controllo nel caso dei numeri qui assunti ad esempio: m=7433, n=192.  Eseguendo la divisione si trovano il quoziente q=38 e il resto r=137. Ebbene, si ha

R(m)=R(7433)=8

R(n)=R(192)=3

R(q)=R(38)=2

R(r)=R(137)=2; quindi

R(R(n)´R(q)+R(r))=R(3´2+2)=R(8)=8  cosicchè la prova ha dato buon esito.  Come per la moltiplicazione e l'addizione, anche per la divisione il riscontro della prova del nove è condizione necessaria ma non sufficiente per l'esattezza dei risultati (quoziente e resto).

Infine, spieghiamo quanto accennato all'inizio: se n è un numero naturale, R(n) è il resto della divisione di n per 9. Per semplificare l'esposizione ci limitiamo ad un esempio numerico, anzichè condurre una esauriente dimostrazione.

Sia n=4832. Abbiamo

4832 = 4´1000 + 8´100 + 3´10 + 2 =

(4´999 + 8´99 + 3´9) + 4 + 8 + 3 + 2.

Il numero tra parentesi è palesemente multiplo di 9; il resto della divisione di 4832 per 9 è quindi lo stesso resto della divisione per 9 di 4+8+3+2=17(somma delle cifre di n); e ancora:

17 = 1´10 + 7 = 1´9 + 1 + 7.

Di nuovo abbiamo il primo addendo (1´9) multiplo di 9; il resto cercato è quindi 1+7=8.

Come si nota, siamo giunti a determinare il resto della divisione di 4832 per 9 eseguendo proprio le operazioni atte a calcolare R4832): la somma delle cifre, poi ancora la somma delle cifre di quanto ottenuto; il procedimento di calcolo di R(n) conduce quindi al resto della divisione di n per 9, come si era detto. 

APPROFONDIMENTI TEORICI

La prova del nove è una semplice applicazione della cosiddetta aritmetica modulare.  Si tratta di un sistema di aritmetica degli interi nel quale i numeri "si avvolgono su se stessi" ogni volta che raggiungono i multipli di un determinato numero n, detto modulo. L’aritmetica modulare venne formalmente introdotta da Carl Friedrich Gauss nel suo trattato Disquisitiones Arithmeticae pubblicato nel 1801.  Di seguito diamo una esposizione sommaria di questo argomento.

I numeri interi vengono raggruppati in classi di equivalenza, dove in ciascuna classe ci sono numeri che differiscono fra loro per un multiplo di n.  Per esempio, se n=3, le classi sono tre: la “classe zero”, che contiene i multipli di tre (0,3, -3, 6, -6, …); la “classe uno”, che contiene i multipli di tre aumentati di 1 (1, 4, 7, 10, …, -2, -5, -8, …); la “classe due”, che contiene i multipli di tre aumentati di 2 (2, 5, 8, 11, …, -1, -4, -7, …).  Queste tre classi esauriscono l’insieme dei numeri interi.  Infatti, ad esempio, i multipli di tre aumentati di tre sono a loro volta multipli di tre, e quindi non formano una nuova classe, perché danno nuovamente la classe zero.

La ripartizione dei numeri interi in classi “modulo n” produce n classi: la classe 0, formata dai multipli di n, la classe 1, formata dai multipli di n aumentati di 1, …, la classe (n-1) formata dai multipli di n aumentati di n-1.  Queste classi esauriscono l’insieme dei numeri interi, e a due a due non hanno elementi in comune.  Precisamente, dato un numero intero k, la classe alla quale appartiene k è quella in cui si trova il resto della divisione di k per n.  Per esempio, nell’aritmetica “modulo 12”, la classe in cui si trova 59 è la stessa in cui si trova 11.  Infatti 59-11= 48, che è multiplo di 12.  11 è il resto della divisione di 59 per 12, essendo 59 = 4·12 + 11.

Per questo motivo le classi vengono chiamate classi di resto modulo n.

Quando è chiaro quale sia il “modulo” n, la classe a cui appartiene k viene indicata col simbolo [k].  k viene chiamato rappresentante della classe.  Questo è il punto più delicato della teoria, perché ogni classe ha tanti rappresentanti, anzi, ne ha infiniti.  Per esempio, nell’aritmetica modulo 12 è [59] = [11], ma anche [59] = [35] = [47] = [-1] = …

La proprietà fondamentale su cui poggia l’aritmetica modulare è la stabilità delle operazioni di addizione e moltiplicazione, rispetto ai rappresentanti delle classi.

Vale a dire: se (relativamente ad un determinato modulo n) è [k₁] = [k₂] e [h₁] = [h₂] allora

1)      [k₁ + h₁] = [k₂ + h₂]

2)       [k₁ · h₁] = [k₂ · h₂]

ossia la classe a cui appartiene la somma di due numeri non cambia, sostituendo ai due numeri dati altri due numeri che differiscono da quelli dati per multipli di n.

allo stesso modo, la classe a cui appartiene il prodotto di due numeri non cambia, sostituendo ai due numeri dati altri due numeri che differiscono da quelli dati per multipli di.

Facciamo un esempio.  Nell’aritmetica modulo 3 è [2]=[8], [7]=[13].  Ebbene

[2+7] = [9], [8+13] = [21].

Le due classi [9] e [21] sono uguali, perché 21 e 9 differiscono di 12, che è multiplo di 3; nella fattispecie si tratta della classe [0], poiché 21 e 9 sono entrambi multipli di 3

Analogamente risulta:

[2·7] = [14], [8·13] = [104].

Le due classi [14] e [104] sono uguali, perché 104 e 14 differiscono di 90, che è multiplo di 3; nella fattispecie si tratta della classe [2]: sia 104, sia 14 danno resto 2 se divisi per 3.

Così è lecito definire la somma e il prodotto di classi operando sui rappresentanti, in quanto la scelta di un rappresentante diverso non cambia il risultato, inteso come classe.  Dunque, definiamo la somma e il prodotto di due classi modulo m, [k] e [h] ponendo:

 [k]+[h] = [k+h];  [k] · [h] = [k·h].

Lo studio delle proprietà delle operazioni dell’aritmetica modulare è un ramo dell’algebra che ha innumerevoli ed importanti applicazioni; qui ci limitiamo ad accennare a come questa teoria permette di giustificare la “prova del nove”.   Lavoriamo quindi nell’aritmetica modulo 9; d’ora in avanti, se k è un numero intero, [k] indica la sua classe modulo 9

La prova del nove, ed il metodo con cui si realizza, poggia sul fatto che

 [10] = [1]  (modulo 9)

Infatti 10-1 = 9, che è multiplo di 9 (ovviamente).

Da ciò segue che

[10^m] = [1]  per ogni esponente m intero positivo.

Infatti

[10^m] = [10·10·…·10]  (m volte)

= [10] · [10] ·…· [10]  (m volte)

= [1]∙[1] ·…· [1]  (m volte)

= [1·1·…·1]  (m volte)

= [1].

Ciò comporta che la classe modulo 9 di un numero intero (scritto in rappresentazione decimale) è la stessa classe a cui appartiene la somma delle cifre di quel numero.  Mostriamo questo fatto su un esempio concreto, per semplicità espositiva, ma risulterà chiaro che la proprietà vale in generale.  Consideriamo il numero 58732.  Si ha

[58732] = [5·10⁴ + 8·10³ + 7·10² + 3·10 + 2]

= [5·10⁴] + [8·10³] + [7·10²] + [3·10] + [2]

(abbiamo distribuito l’addizione alle classi dei diversi addendi)

= [5] · [10⁴] + [8] · [10³] + [7] · [10²] + [3] · [10] + [2]

(in ciascun prodotto abbiamo distribuito la moltiplicazione alle classi dei due fattori)

= [5] · [1] + [8] · [1] + [7] · [1] + [3] · [1] + [2]

(abbiamo tenuto conto del fatto che [10^m] = [1] per ogni m)

= [5] + [8] + [7] + [3] + [2]

=[5+8+7+3+2]

(inversamente a quanto effettuato nel primo passaggio, abbiamo unificato l’addizione dei diversi rappresentanti entro una stessa classe)

= [25]

e ora, analogamente,

= [2+5]

= [7] .

Finalmente, parliamo della prova del nove, ad esempio per la moltiplicazione.

Si abbia da calcolare 58732·7239.  Sia p il risultato (fra poco dichiareremo il suo valore).  La prova del nove consiste nel verificare che la classe di resto modulo 9 di p, cioè [p], è effettivamente il prodotto modulo 9 delle classi dei due fattori.

Si calcola 58732·7239 = 425160948.  Controlliamo le classi modulo 9.

Abbiamo già calcolato [58732] = [7].  Poi

[7239] = [7+2+3+9] = [21] = [2+1] = [3];

[58732] · [7239] = [7] ·[3] = [21] = [2+1] = [3];

[425160948] = [4+2+5+1+6+0+9+4+8] = [39] = [3+9] = [12] = [1+2] = [3].

Ciò che ci interessa è il fatto che il risultato della moltiplicazione 58732·7239 e il numero 425160948 stanno nella stessa classe modulo 9 (nel caso in esame, nella classe [3]).  Questo non assicura che 425160948 sia il risultato esatto della moltiplicazione, ma soltanto, qualora non lo fosse, che tale numero differisce dal risultato esatto per un multiplo di 9.  Viceversa, se le classi [58732]·[7239] e [425160948] fossero risultate diverse, avremmo avuto la certezza di non avere calcolato correttamente il prodotto.

Poiché le classi di resto modulo 9 sono nove, possiamo pensare (con una valutazione un po' rozza) che la prova del nove, in caso di riscontro positivo, garantisca l'esattezza del risultato dell'operazione con probabilità 8/9.

Sullo stesso principio, e con argomentazioni analoghe, si giustificano le prove del nove per le altre operazioni (addizione, sottrazione, divisione).

Per concludere, osserviamo che un po' di astuzia permette di semplificare il calcolo della classe di resto modulo 9.  Si possono infatti sopprimere gli zeri le cifre 9, o gruppi di cifre che danno 9 come somma: il contributo di queste cifre non altera infatti il risultato.  Per esempio, ricalcoliamo il resto modulo 9 di 425160948.  Le cifre in neretto vengono soppresse prima di effettuare i calcoli, perché uguali a 0, a 9 o facenti parte di gruppi che danno 9 come somma (4+5=9, 1+8=9)

[425160948] = [2+6+4] = [12] = [3].

Paolo Negrini – Dipartimento di matematica Università di Bologna