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Non c'è alcun dubbio: la radice quadrata di x alla
seconda (scriveremo d'ora in avanti
 non è, in generale, x, bensì "valore
assoluto di x" (scriveremo
 . Ricordiamo che
significa:
x, se x>0
oppure x=0
-x, se x<0
Dunque,  = x, se x>0 oppure x=0;
=-x, se x<0.
Ciò dipende dalla definizione di "radice quadrata", come
"funzione inversa" della funzione x2.
Può essere utile riflettere sulle modalità profondamente
diverse con cui sono definite la funzione "elevamento al quadrato" e
la funzione "radice quadrata".
La funzione "elevamento al quadrato" è definita in modo
costruttivo: si dice che cosa fare su x per ottenere il
risultato: il valore di x2 è, per definizione, ciò
che si ottiene moltiplicando x per se stesso. Dunque,
qualunque sia il valore di x, è perfettamente chiaro che cosa
sia x2.
Tutt'altro approccio per la radice quadrata. Se y è
un numero reale, ciò che (quando esiste) indicheremo con
 è innanzitutto un numero x tale che x2=y.
Poiché x2 non assume in nessun caso valore
negativo, siamo obbligati a limitare la scelta di y a valori
maggiori o uguali a zero.
Diversamente dal caso precedente, non si descrive (non è
possibile farlo) un algoritmo che, operando su y, conduce al
valore di . Anche quando
si trova elementarmente (per esempio:
 , il risultato è giustificato solo a posteriori:
perchè 52=25.
I problemi non finiscono qui. Restando all'esempio citato,
notiamo che anche (-5)2=25. Perchè, allora, non
accettare anche -5 come valore di
 ?
Una regola fondamentale della matematica impone che una
funzione abbia un solo valore per ciascun valore della
variabile indipendente; questa regola traspare anche dal linguaggio
usato:
La radice quadrata di 25 è 5.
Affermare che
"la radice
quadrata di 25 sono 5 e -5"
sarebbe altrettanto insensato (e sgrammaticato) quanto
affermare che
"la capitale
dell'Italia sono Roma, Napoli, Milano"
Tuttavia, resta vero che (-5)2=25. Ciò
significa che la frase
"un numero x
tale che x2=y"
non è sufficiente per definire
. Per eliminare l'ambiguità, definiamo
come
"il numero x maggiore o uguale a zero tale
che x2=y".
Si può dimostrare che, per ogni y 0, esiste ed è unico il numero reale x
soddisfacente quanto su indicato. Ecco allora definita
, per ogni y 0.
Torniamo alla questione iniziale: chi è
?
Per maggiore chiarezza, facciamo qualche esempio numerici.
x=5. In
tal caso, x2=25; allora
=è
"il numero x
maggiore o uguale a zero tale che x2=25"
Il risultato evidentemente è x=5; in questo caso
dunque abbiamo avuto =x.
Non occorre calcolare il valore di x2.
Per esempio
x=123456789.
Quanto vale  ?
Non serve, per fortuna, scrivere l'orribile espressione
esplicita di 1234567892.
è
il numero x
maggiore o uguale a zero tale che x2=1234567892
È evidente che tale numero è x=123456789. Anche
questa volta abbiamo riscontrato
=x Ciò avviene tutte le volte che x 0.
Vediamo ora che cosa accade se x<0. Per esempio
x= -5.
Per definizione,  è:
il numero x maggiore o uguale a zero tale che
x2=(-5)2
Questa volta non ritroviamo x. Il numero -5
soddisfa il requisito di fornire come quadrato il valore desiderato,
ma non quello della positività.
Poiché i quadrati di due numeri uno opposto dell'altro sono
uguali, avremo 52=(-5)2. Perciò
 , vale a dire l'opposto di x al
quale avevamo assegnato il valore -5.
Allo stesso modo, avremo
 ; ed in generale,
 , tutte le volte che x<0.
Riassumendo:
= x, se x è maggiore o uguale a
zero;
= -x, se x è minore di zero.
Questa è esattamente la definizione di
.
Paolo Negrini – Dipartimento di Matematica – Università di
Bologna
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