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Definire il
valore assoluto di un numero come "il numero senza il segno" e' un
modo errato e fuorviante per caratterizzare questa importante
nozione.
Il valore
assoluto di un numero coincide con il numero stesso, quando questo
e' positivo o e' zero; e' l'opposto del numero dato, quando questo
e' negativo.
In simboli:
 , se a > 0 oppure a = 0;
 , se a < 0.
Ne segue in
effetti che, ad esempio, |7|=7, mentre |-2 |= -(-2) = 2; questo
sembra avallare la tesi del "numero senza il segno". Tuttavia tale
locuzione si manifesta subito inadeguata non appena si ha a che fare
con espressioni numeriche più complesse, o peggio ancora, con
espressioni contenenti simboli letterali. Facciamo qualche esempio.
Poiché
 è maggiore di 2, il numero
 è negativo; la definizione data di "valore
assoluto" dice allora che
è l'opposto di
cioè  ovvero
 .
In nessun
modo si riesce a pervenire a questo risultato, se si ritiene come
definizione di valore assoluto di un numero "il numero senza il
segno".
Equivoci
ancora peggiori sono in agguato quando appaiono simboli letterali.
Chi e', per esempio,  , dove x è una variabile alla quale non è'
per il momento assegnato alcun valore numerico? L'errore classico
degli studenti sprovveduti è
 ,
in ossequio
alla "regola" del "numero senza il segno".
Ma x
qui non e' un numero, o meglio: può assumere il valore di qualunque
numero, positivo o negativo. Per questo motivo non è vero, in
generale, che . In effetti risulta
 (il "contenuto" invariato), se –x > 0
oppure = 0, cioè se x < 0 oppure = 0;
 , se –x < 0, cioè se x > 0.
Probabilmente uno studente di scuola media non avrà occasione di
imbattersi in situazioni come quelle esemplificate; tuttavia è
certamente inopportuno dare una definizione sbagliata, col pretesto
che "nei casi semplici funziona": quando lo studente, dovendo
cimentarsi con situazioni più complesse, dovrà rimuovere il concetto
errato per sostituirlo con quello corretto, faticherà assai più che
se la nozione gli fosse presentata allora per la prima volta.
Paolo
Negrini, Dipartimento di
Matematica, di Bologna | 