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La prima domanda
ha una risposta semplice: ricordando che un numero intero n è pari
se è divisibile per 2, e che essere divisibile per 2 significa che
esiste un k intero tale che n = 2k, ecco che, essendo 0 = 2*0,
allora 0 è multiplo di 2, quindi è pari.
La seconda domanda
è più intrigante: in effetti, secondo Euclide un numero intero p è
primo se dividendo un prodotto di interi a*b, divide almeno uno dei
fattori. Presa così com'è, la definizione è soddisfatta dallo zero:
affinché 0 divida il prodotto a*b, questo prodotto deve essere = 0 e
ciò è possibile solo se uno dei fattori è nullo, ossia uno dei
fattori è multiplo di 0.
Tuttavia, ai tempi
di Euclide lo zero non "esisteva" come numero. Pertanto, non ha
senso prendere quella di cui sopra così com'è come definizione di
numero primo.
La definizione
moderna di numero intero primo, (o più in generale di elemento primo
in un dominio d'integrità) è la seguente: è un numero non nullo e
non invertibile p tale che ogni volta che divide un prodotto a*b, ne
divide almeno uno dei fattori.
Da questa
definizione segue che ogni numero primo p ha come divisori propri
solo se stesso, il suo opposto -p e i due elementi invertibili 1 e
-1, ossia p è "indecomponibile".
Lo zero è invece
multiplo di ogni altro intero, e mi pare che non sia questo quel che
si vuole ottenere con la teoria della divisibilità.
Viceversa, un
numero intero p non nullo e non invertibile si dice indecomponibile
se ha come divisori solo p, -p, 1, -1. In tal caso, si dimostra che
è anche primo. (Ma questo non è sempre vero in dominii d'integrità
qualsiasi).
Nel caso dei
numeri naturali, un'ulteriore definizione di numero primo è l'avere
due e due soli divisori: 1 e se stesso. Da qui segue che 0 e 1 non
sono primi, perché 0 è divisibile per ogni numero naturale, mentre 1
è divisibile solo per se stesso. Conclusione: no, 0 non è primo.
Libero Verardi –
Dipartimento di Matematica – Università di Bologna | 