Sulle definizioni che si danno riguardo alle frazioni

D.: Insegno matematica nella Scuola Media. So che dal punto di vista matematico la cosa ha scarso valore, mi piacerebbe tuttavia conoscere il suo parere sulle definizioni che si danno riguardo alle frazioni.
I diversi testi (della Scuola Media) presentano "classificazioni" discordanti. In alcuni le frazioni apparenti sono viste come sottoinsieme delle improprie, in altri i due insiemi sono disgiunti. Inoltre, spesso non si tiene conto dello zero al numeratore, oppure si trova scritto: "frazioni improprie: numeratore *maggiore o uguale* al denominatore, quelle apparenti sono *tutte* frazioni improprie, con la sola eccezione di quelle con numeratore zero". O ancora: "le frazioni apparenti sono anche improprie tranne quelle uguali a 1" (!)

R.: La questione terminologica riguardo al significato da attribuire alla locuzione “frazione impropria”, “frazione apparente” e persino “frazione” non ha in realtà un ruolo particolarmente importante nelle applicazioni della matematica; tuttavia l’uso di queste locuzioni è assai diffuso, e in effetti suggerisce interessanti riflessioni.

Il Vocabolario etimologico della lingua italiana di Ottorino Pianigiani, alla voce “frazione” recita: «lat. FRACTIONEM da FRACTUS participio passato di FRANGERE, rompere. L’atto del frangere o del frangersi. Spezzamento, Rottura. (…)»

Questa definizione è vicina alla nozione ingenua di frazione intesa come parte di un tutto, quindi sempre minore dell’intero, ossia dell’unità. Nel linguaggio comune questa accezione non viene mai messa in discussione: un evento improvviso che si verifica “in una frazione di secondo” dura senz’altro meno di un secondo; un prezzo aumentato “di una frazione di punto” (percentuale) s’intende certamente che sia aumentato meno dell’1%.

Anche in matematica, nella fase iniziale dell’insegnamento, le frazioni mantengono questa caratteristica. Si parla infatti di un “intero” (spesso: una torta) che viene divisa in n parti; di queste ne vengono prese m, dove s’intende m<n, ed ecco la frazione “propria” m/n. Soltanto in seguito viene dato un significato a m/n quando m è maggiore o uguale di n, ed il concetto di frazione (razionale) viene esteso al rapporto tra due qualsiasi numeri interi (con la sola esclusione di zero come denominatore: questa limitazione è assolutamente intangibile).

Viene così a mancare il significato ingenuo di frazione intesa come “parte” di un tutto, ossia di quantità inferiore all’unità. Per rendere il distacco meno traumatico si classificano queste “nuove” frazioni con aggettivi che in qualche modo le relegano ai margini della famiglia di cui fanno parte. Ed ecco le frazioni apparenti, ossia numeri interi che si presentano scritti sotto forma di frazione: significa che il numeratore è multiplo del denominatore, compreso ovviamente il caso in cui il numeratore è zero (ma non il denominatore!), e le frazioni improprie, nelle quali il numeratore (in valore assoluto, se si vogliono considerare anche frazioni negative) è maggiore del denominatore.

Nella domanda posta si chiede se sia più opportuno dare le definizioni in modo che le frazioni apparenti diverse da zero non facciano parte delle improprie o invece si tratti di un caso particolare di queste ultime.

Come riconosce la stessa richiedente, la questione non è di capitale importanza; si tratta soltanto di mettersi d’accordo. La mia opinione è senz’altro per la seconda alternativa: cioè che le frazioni apparenti siano particolari frazioni improprie. Questa posizione mi sembra conforme a quanto si fa usualmente in geometria, ad esempio nella classificazione dei quadrilateri: imponendo ulteriori requisiti si creano sottoinsiemi di insiemi precedentemente definiti, e non suddivisioni dell’insieme originale. Vale a dire: l’insieme dei quadrati è sottoinsieme di quello dei rettangoli, contenuto nell’insieme dei parallelogrammi, contenuto a sua volta nell’insieme dei trapezi.

In effetti neppure questa scelta è unanimemente condivisa: qualcuno dice che un rettangolo è un quadrilatero con quattro angoli retti che non sia un quadrato; una simile scelta è poco opportuna, fra l’altro perché ogni proprietà o formula valida per i rettangoli lo è ovviamente anche per i quadrati.

Ritornando alle frazioni, non vale comunque la pena di insistere particolarmente su queste classificazioni. L’obiettivo è che gli allievi padroneggino il calcolo con le frazioni; raggiunto questo traguardo sarà per loro evidente se il risultato frazionario di un calcolo rappresenta un numero intero, oppure rappresenta un numero non intero minore o maggiore di 1; a questo punto la distinzione esplicita tra frazioni proprie, improprie, apparenti sarà sostanzialmente superflua.

Desidero tuttavia segnalare che i manuali scolastici anglosassoni dedicano alle frazioni improprie una certa attenzione, trasformando sempre queste ultime in (parte intera + frazione propria); per esempio, se il risultato di un’espressione è 14/5, esso non viene presentato in questa forma, bensì 2(4/5) (omettendo, con scelta alquanto discutibile, il segno di addizione). Questa abitudine non manca di lati positivi: per esempio, il confronto tra frazioni è facilitato, risultando immediato tutte le volte in cui le parti intere sono diverse.

Paolo Negrini – Dipartimento di Matematica – Università di Bologna Bologna