Sono un'insegnante e mi occupo di matematica nella scuola elementare. In alcuni sussidiari per la classe terza elementare sono presenti le tabelle per le quattro operazioni con numeri da 0 a 10 messi sia nella prima colonna, sia nella prima riga.  Per l’addizione, la sottrazione e la moltiplicazione funziona tutto liscio. Con la tabella della divisione le cose si complicano e appare una colonna annerita (senza tante spiegazioni, anzi proprio nessuna) a proposito delle divisioni per zero. Perché non si può fare 3:0= o 5:0=… Cosa devo dire ai miei alunni?

Risposta.

La motivazione matematica dell'impossibilita' di dividere per zero e' la seguente.

La divisione, a differenza della addizione e della moltiplicazione, non è una operazione definita direttamente; il risultato di una divisione e' giustificato dal risultato di una moltiplicazione, che possiamo assumere come la "prova" della divisione.

Per esempio, 12:4=3, perche' 3x4=12.  Ovvero: il risultato della divisione 12:4 e', per definizione, il numero che moltiplicato per 4 da' 12; quindi, 3. Ebbene, quale numero dovrebbe essere il risultato, per esempio, di 12:0?

Se questa operazione avesse un risultato, indichiamolo con *, questo numero dovrebbe verificare la "prova", ossia dovrebbe essere *x0=12.  Ma qualunque sia il numero *, moltiplicandolo per zero troveremo comunque zero, e mai 12.  Dunque, nessun numero ha diritto di essere il risultato di 12:0.  La divisione 12:0 NON SI PUO' FARE.  Analogamente, non ha senso 3:0, 5:0, o qualunque divisione con divisore uguale a zero.  E' opportuno specificare che non si puo' fare neppure 0:0. Per questo caso la motivazione e' leggermente diversa.  Il presunto (incautamente!) risultato di 0:0, indichiamolo ancora con *, dovrebbe soddisfare la "prova", cioe' *x0=0.  Ebbene, QUALUNQUE valore attribuito a * soddisfa *x0=0; quindi (?) si sarebbe tentati di affermare che 0:0=5, perche' 5*0=0, ma anche 0:0=23, perche' 23*0=0, .....  Ma una operazione, per avere senso, deve dare UN SOLO  risultato; quindi dobbiamo concludere che anche 0:0 NON HA SENSO. Si tratta di una delle regole piu' ferree della matematica: la divisione per zero e' una operazione proibita, sempre, in ogni ambito e situazione.      Una motivazione piu' ingenua dell'impossibilità di dividere per zero si puo' avere con un esempio, pensando a un problema concreto "di contenenza": per imbottigliare 50 litri di vino in bottiglie da 0,5 litri occorrono 50:0,5=100 bottiglie; variando la capacita' delle bottiglie, cambia il divisore, e di conseguenza il risultato.     Ma se le bottiglie sono difettose, con il collo otturato, e non possono contenere neppure una goccia di vino, ossia hanno capacita' zero, nessun numero di quelle cattive bottiglie mi consentira' di imbottigliare il mio vino: il problema non ha senso, come non ha senso la divisione 50:0.

Paolo Negrini

Dipartimento di Matematica Universita' di Bologna