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A Fermat si deve
l' "invenzione" del metodo di "discesa infinita", di cui era
particolarmente orgoglioso, e da lui utilizzato in numerose
dimostrazioni.
In breve, mediante
il metodo di discesa infinita si prova che certe proprietà o
relazioni tra numeri interi e positivi sono impossibili mostrando
che se esse valgono per certi numeri esse valgono per numeri ancora
più piccoli e, ripetendo il ragionamento, si ottiene una successione
di interi positivi indefinitamente decrescente, il che è assurdo.
Illustriamo
quanto detto con un esempio, dimostrando che:
"Se v e
w sono numeri primi tra loro e se vw è un quadrato,
allora sia v che w sono quadrati".
Ragioniamo per
assurdo e supponiamo che, ad esempio, v non sia un quadrato,
in particolare v non è uguale a 1. Perciò v è
divisibile per almeno un numero primo P e risulta v =
Pk. Allora P divide vw=u2 e
perciò P divide anche u, diciamo u = Pm.
Si ha
da cui
 .
Quindi P
divide kw e, poiché P non divide w (v e
w sono primi tra loro), P divide k, cioè k=Pv'.
Quindi abbiamo
 ossia  .Poichè
 , ogni divisore di v' è anche divisore di
v e quindi v' e w sono primi tra loro. Inoltre
v' non è un quadrato poiché se così non fosse
 sarebbe un quadrato, in contrasto con quanto
supposto all' inizio.
Abbiamo allora
trovato due numeri v' e w primi tra loro il cui
prodotto è un quadrato e tali che uno dei due (v') non è un
quadrato. Inoltre v'<v. Si può allora ripetere il
ragionamento appena fatto e si ottiene una successione decrescente
v>v'>v">... di interi positivi, il che è
assurdo.
Valter
Roselli
– Dipartimento di Matematica Università di Ferrara
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