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La chiave per
rispondere alla prima domanda sta in quanto richiesto nella seconda
domanda; partiamo quindi da quest'ultimo quesito.
2) Il modo più
esplicativo per simboleggiare un numero pari (ossia un multiplo di
2) consiste nell'indicare tale numero come 2m, in cui m denota un
numero naturale (che è la metà del numero considerato; per esempio
18=2x9). In questo modo si mette in evidenza la proprietà aritmetica
che caratterizza ogni numero pari: quella di avere 2 tra i suoi
fattori.
Riguardo alla
seconda parte della domanda: è del tutto corretto indicare quattro
numeri naturali consecutivi nella forma a, a +1,
a
+2, a +3, dove a indica un numero naturale.
Ora non è
difficile dimostrare la proprietà su indicata, cioè che il prodotto
di tre numeri pari consecutivi è sempre multiplo di 8.
In effetti, non
solo il prodotto di tre numeri pari consecutivi è multiplo di 8; più
in generale è multiplo di 8 il prodotto di tre qualsiasi numeri
pari. Ciò può essere provato nel modo seguente.
Come si diceva
sopra, ogni numero pari si può esprimere come 2
m, essendo m un numero naturale.
1) Tre numeri
pari saranno esprimibili quindi nella forma
2 m, 2n,
2k, dove m, n, k sono numeri naturali.
Il loro prodotto è uguale a
2 m*
2n*
2k = 2
*
2 *2
*
m
* n
*
k = 8
*
(m
*
n
* k)
Risulta
pertanto evidente che il prodotto è multiplo di 8, potendosi
esprimere come 8 moltiplicato per un altro numero naturale.
Segue come caso
particolare che il prodotto di tre numeri pari consecutivi è
multiplo di 8.
In effetti, in
questo caso particolare si può dire di più: il prodotto di tre
numeri pari consecutivi è sempre multiplo di 16. Infatti, tre numeri
pari consecutivi possono essere indicati come
2m
2m+2 2m+4
Il loro
prodotto è
2m(2m+2)(2m+4)
= 2m*2(m+1)
*2(m+2)
= 8m(m+1)(m+2)
Ora, uno almeno
fra i tre numeri naturali consecutivi m, m+1, m+2
è pari; quindi il prodotto m(m+1)(m+2) è pari,
ossia può essere scritto come 2k per un certo numero naturale
k. Pertanto il prodotto ottenuto sopra può essere scritto
nella forma
8m
*
2k = 16
*
m
* k
manifestando
così la proprietà di essere multiplo di 16.
3) Se
analizziamo la successione dei numeri interi, nell'ordine naturale e
cioè
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...
notiamo che uno
ogni quattro è multiplo di 4:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...;
e ancora, che
uno ogni tre è multiplo di 3:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...;
infine, uno
ogni due è pari, ossia multiplo di 2:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...
(fra questi
figurano nuovamente tutti i multipli di 4).
Pertanto, in
ogni lista di quattro numeri naturali consecutivi troveremo
certamente:
*
due numeri pari, uno solo dei quali multiplo di 4; indichiamoli con
2a, 4b
*
almeno un multiplo di 3.
Il prodotto dei
quattro numeri in oggetto è innanzitutto divisibile per
8, in quanto il
prodotto dei soli due fattori pari è 2a*4b
= 8ab; inoltre, poiché tra i quattro numeri c'è un multiplo
di 3, il prodotto risulta divisibile anche per 3; complessivamente
vediamo che il prodotto dei quattro numeri è divisibile per 8*3=24,
come si voleva dimostrare.
La proprietà
ora dimostrata è il caso particolare di una proprietà più generale:
Il prodotto di
n numeri naturali consecutivi è divisibile per n! = 1*2*3...*.
Notiamo infatti
che 4! = 1*2*3*4
= 24; ciò che abbiamo dimostrato sopra è dunque il caso particolare
di quest'ultimo teorema, nel caso n = 4.
La
dimostrazione nel caso generale è semplice applicando le "classi di
resto"; piuttosto artificiosa se svolta con strumenti più
elementari; non riteniamo utile riportarla in questa sede
Paolo Negrini –
Dipartimento di matematica Università di Bologna
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