Numeri triangolari e somma dei primi n numeri naturali

Vorrei avere qualche indicazione sul tema della dimostrazione della somma dei numeri naturali, e un'idea di come proporre l'argomento a ragazzi di terza media. Sto lavorando  sui numeri triangolari, ma non so come dimostrare loro che l'ennesimo numero triangolare è uguale alla somma di n numeri naturali. Può essere sufficiente e rigorosa una dimostrazione senza parole con Cabri?

La somma dei primi n numeri naturali è oggetto di un celebre aneddoto riguardante il grande matematico Carl Friedrich Gauss (Brunswick 1777 - Göttingen 1855).

Gauss era il figlio unico di una coppia di condizioni modeste. Il giovane Carl Friedrich era un genio precoce: all'età di tre anni sapeva già leggere e fare di conto. All'età di 10 anni fu autorizzato a seguire le lezioni di aritmetica di un certo Buttner, persona nota per essere piuttosto cinica e irrispettosa, soprattutto nei confronti degli studenti di famiglie povere. Un giorno gli studenti erano particolarmente turbolenti, e Buttner diede loro come punizione il compito di calcolare la somma dei 100 primi numeri: 1+2+3+...+100, sicuro che questo calcolo avrebbe tenuto impegnati gli allievi per parecchio tempo.  Bastarono invece pochi minuti al giovane Carl Friedrich: "Il risultato è 5050" disse, lasciando senza parole il maestro.

Buttner, tutto sommato, era un uomo intelligente e realizzando che non aveva più niente da insegnare al giovane Gauss, lo raccomandò al duca di Brunswick il quale concesse a Gauss l'aiuto economico per affrontare gli studi secondari e quelli universitari.

Pare che il ragionamento del giovane Gauss per ottenere il risultato sia stato il seguente:

Sia S la somma dei primi n numeri naturali, cioè

.

È anche, ovviamente

.

Scriviamo queste due relazioni una sotto l'altra, incolonnando opportunamente i termini, e sommiamo membro a membro:

Ci sono infatti 100 addendi tutti uguali a 101.  Dunque

È facile generalizzare il ragionamento per ottenere l'espressione della somma dei primi n numeri naturali, qualunque sia n.  Detta  tale somma si ha infatti

Ci sono infatti n addendi tutti uguali a .  Segue che

.

I numeri  sono detti numeri triangolari.  Questo termine è dovuto alla rappresentazione figurata che si può dare ai numeri .  Sovrapponendo a una fila di n dischetti uguali affiancati, un'altra fila di  dischetti, poi un'altra di , e così via, fino a completare la costruzione con un unico dischetto in vetta, la pila, di forma triangolare, è costituita evidentemente da  dischetti.  La figura accanto rappresenta la situazione nel caso .

Uno schieramento leggermente diverso di due pile di  dischetti ciascuna consente di ricavare "geometricamente" il valore di , in sostanza riadattando la dimostrazione del giovane Gauss.  Nella figura, relativa ancora al caso , si vedono due schieramenti (rosso e azzurro) ciascuno di  dischi, che formano insieme uno schieramento rettangolare formato da  dischi.  Dunque , da cui nuovamente

Paolo Negrini - Dipartimento di matematica Università di Bologna