Numeri pari e dispari

Carissimo Professore, sono un'insegnante di scuola elementare e parlo quasi tutti i giorni di numeri con i miei alunni. C'è una domanda che vorrei rivolgerle proprio a proposito di numeri. I numeri sono infiniti e dovrebbero essere come è ovvio i numeri pari  tanti quanti i numeri dispari, proprio perché non si vede la fine. Questo sembra funzionare bene se si parte da 1.
 Esempio: 1 (dispari), 2 (pari). Se  invece considero lo zero un numero allora sono costretta a dire che i numeri pari sono più dei numeri dispari. È così che funziona, non è vero? 0 (pari), 1 (dispari), 2 (pari).  Ho ragione?

Risposta

Le affermazioni riportate contengono alcuni errori; piu' precisamente, si nota un sistematico malinteso sul concetto di "tanti quanti", riferito ad elementi di insiemi infiniti.La questione in effetti e' assai delicata; cerchiamo qui di illustrarla in maniera elementare ma (abbastanza) rigorosa.
Due insiemi A e B si dicono equipotenti (questo e' il termine tecnico per indicare che A ha "tanti elementi quanti" ne ha B), se è possibile associare a ciascun elemento di A un elemento di B, in modo che ad ogni elemento di A corrisponda un diverso elemento di B, e che nessun elemento di B rimanga "inutilizzato" (una siffatta "associazione tra elementi di A ed elementi di B" si chiama corrispondenza biunivoca).
Per esempio: immaginiamo che A sia l'insieme dei ragazzi di un oratorio, ai quali il parroco vuole offrire una maglietta per partecipare a una manifestazione sportiva.                                                                                                                          Il parroco arriva dunque con un pacco (=insieme) B di magliette.   Ebbene, gli insiemi A e B sono equipotenti se1) nel pacco B ci sono magliette a sufficienza affinche' ogni ragazzo possa indossarne una;
2) Quando ogni ragazzo ha indossato una maglietta, nessun'altra maglietta gia' presente in B e' rimasta inutilizzata.
Quando gli insiemi A e B (ritorniamo alla discussione generale) sono finiti, cioe' esiste un numero naturale che dice quanti elementi ci sono in A e in B, l'equipotenza equivale al banale concetto di "uguale numero di elementi": tornando al nostro esempio, se i ragazzi sono, poniamo, 20, occorrono 20 magliette: un numero inferiore lascia qualcuno senza, un numero superiore causa un residuo di maglie inutilizzate.   Per insiemi infiniti, la questione e' molto piu' complicata.
Innanzitutto, bisogna specificare che cos'e' un insieme infinito; non si può dire che un insieme e' infinito "quando ha infiniti elementi": in questo modo daremmo la definizione usando lo stesso concetto che vorremmo definire.                                   Una possibile definizione e' la seguente: Un insieme A e' infinito, se per qualunque numero naturale N è possibile trovare in A piu' di N elementi distinti.
Questo significa che gli elementi di un insieme infinito non si possono "contare"; proprio perche' sono infiniti, sono in quantita'
superiore a qualunque numero: qualunque sia N, arrivati a contare N elementi di A, sicuramente non avremo esaurito gli elementi. Gli insiemi infiniti hanno proprieta' che a prima vista possono apparire paradossali; la piu' importante (e sorprendente!) consiste nel fatto che"un insieme infinito e' equipotente a una sua parte propria", cioe', con parole ingenue, si possono eliminare da un insieme infinito degli elementi (anche infiniti elementi!) senza diminuire la quantita' complessiva di elementi restanti.
Facciamo qualche esempio, collegato con l'esempio esposto sopra. Se i ragazzi sono 20 e le magliette pure 20, A e B sono equipotenti: c'e' una maglia per ciascuno, e nessuna maglia resta inutilizzata.
Se pero' nessuno vuole indossare la maglia numero 17, e la maglia con quel numero viene eliminata dal pacco B, sorge un problema: poiche' restano solo 19 maglie, qualcuno resta senza!
Ma se i ragazzi (e le maglie) sono infiniti, il problema non c'e': possiamo vestire tutti gli infiniti ragazzi assegnando, per esempio:- al primo (chiamiamolo "ragazzo 1"), la maglia n.1- al ragazzo 2, la maglia n.2 - al ragazzo 3, la maglia n.3
.........  - al ragazzo 16, la maglia n.16 - al ragazzo 17, la maglia n.18 (saltando quindi la 17) - al ragazzo 18, la maglia n.19  al ragazzo 19, la maglia n.20 e così via.  Tutti gli infiniti ragazzi potranno vestirsi, senza che nessuno utilizzi la maglia n.17.
Possiamo anche eliminare infinite maglie: per esempio, supponiamo che ai ragazzi non piacciano i numeri dispari, ed eliminiamo tutte le maglie dispari; tutti possono ancora vestirsi, per esempio indossando: - il ragazzo 1, la maglia n.2 - il ragazzo 2, la maglia n.4 - il ragazzo 3, la maglia n.6 - il ragazzo 4, la maglia n.8 eccetera. Questo esempio prova che l'insieme dei numeri naturali e' equipotente all'insieme dei numeri naturali pari, nonostante che i  numeri pari siano "di meno".  Dunque, anche se e' vero che ci sono altri numeri naturali oltre a quelli pari (i dispari), e' anche vero che aggiungendo i dispari ai pari non si aumenta la "quantita' infinita" di elementi che c'erano gia' con i soli pari.  Similmente si prova che i numeri pari (con o senza zero) formano un insieme equipotente all'insieme dei numeri dispari.  Con un procedimento un po' piu' sofisticato si puo' trovare una corrispondenza biunivoca fra i numeri naturali e i numeri razionali,  cioe' tutte le frazioni; e questo, nonostante che le frazioni appaiano essere "molte di piu'" che i numeri naturali.                     Concludiamo segnalando che, diversamente da quanto accade nei precedenti esempi, non tutti gli insiemi infiniti sono equipotenti. Se oltre ai numeri razionali (le frazioni) si considerano anche gli irrazionali (come le radici quadrate di numeri interi non quadrati perfetti, o altri numeri non esprimibili come frazione, come pi greco), si ottiene un insieme non piu' equipotente a quello dei razionali (e dei naturali).  Con parole ingenue, possiamo dire che l'aggiunta degli irrazionali aumenta in modo sostanziale l'infinita' dei numeri; non riteniamo qui opportuno approfondire tale questione.
 

Paolo Negrini

Dipartimento di Matematica Universita' di Bologna