Spazi vettoriali

Desideravo sapere perchè nella definizione di spazio vettoriale non compare il prodotto esterno. In uno spazio vettoriale vengono definite due operazioni : la somma fra vettori che dà ancora un vettore e il prodotto di un vettore per uno scalare che dà come risultato ancora un vettore.

   Il prodotto esterno di due vettori non è ancora un vettore?

Ho interpretato la locuzione "prodotto esterno" come sinonimo di "prodotto vettoriale".

La definizione di spazio vettoriale è molto generale, perché riguarda in sostanza l'azione (per moltiplicazione esterna) di un campo K su un gruppo abeliano (V,+), con i ben noti quattro assiomi.

Si applica perciò ad un largo ventaglio di esempi, che vanno dagli spazi "numerici" di dimensione finita sul campo reale o complesso, agli spazi di funzioni e di matrici, ed anche ai "p-gruppi abeliani elementari", in cui ogni elemento diverso dall'elemento neutro ha periodo p (p primo).

Dalla definizione di spazio vettoriale seguono le nozioni di indipendenza lineare, base, dimensione, applicazioni lineari, sistemi lineari, algoritmi di riduzione, ecc.

In alcuni casi, negli spazi vettoriali si definisce in modo naturale qualche altro tipo di prodotto: scalare, hermitiano, simplettico, a valori nel campo K, e che trasforma lo spazio vettoriale in una "geometria" di tipo euclideo o simplettico, ma non è questo l'oggetto della domanda.

Il prodotto esterno o vettoriale è definito, nello spazio tridimensionale reale, in vari modi. Uno di essi, usato dai fisici, definisce il prodotto vettoriale di due vettori u, v non nulli, che formino un angolo convesso a, come un vettore w, il cui modulo |w| è uguale al prodotto |u|·|v|· sen(a), di direzione ortogonale al piano uv e di verso determinato dalla regola delle tre dita.

Questa definizione tuttavia presuppone la nozione di angolo, quindi la presenza di un prodotto scalare o hermitiano, e richiede anche l'estrazione di radici quadrate, ossia è una situazione assai particolare. Come applicarla per esempio nel caso di un campo finito? Come applicarla inoltre in uno spazio vettoriale a due dimensioni come il piano reale?

Una definizione alternativa fa uso delle coordinate: dati u = (x,y,z) e v = (x',y',z'), si considera la matrice 2x3 avente per righe le coordinate dei due punti u, v e da questa si estraggono i tre minori d'ordine 2, formati rispettivamente dalla II e III colonna, I e III, I e II; se ne calcolano i determinanti

 Det(23) = yz'-y'z, Det(13) = xz'-x'z, Det(12) = xy'-x'y

e si forma il vettore w = (Det(23), -Det(13), Det(12)). Quest'ultimo è il prodotto vettoriale di u e v.

Se però siamo per esempio in R⁴, in cui ogni vettore è una quaterna, allora abbiamo una matrice 2x4, che ha sei minori d'ordine 2. Che fare? Si potrebbe partire da una terna di vettori, per ottenere una matrice 3x4, che ha 4 minori d'ordine 3; il risultato è un'operazione ternaria, che a tre vettori associa un vettore, e che si potrebbe chiamare ancora prodotto vettoriale. Si può generalizzare, almeno in dimensione finita, ad un campo qualsiasi, ha una naturale interpretazione geometrica in termini di (iper)volumi, ma è proprio quello che il nostro lettore desidera?

Un'ultima via è quella di dare una definizione assiomatica: dato uno spazio vettoriale V sul campo K, chiamare prodotto vettoriale un'operazione binaria che associ a due vettori u, v un vettore u·v, con le seguenti proprietà (u, v, w vettori, k scalare)

 i) antisimmetria: u·u = 0

 ii) bilinearità: (u+u')·v = u·v+u'·v, (ku)·v = k(u·v)

 iii) identità di Jacobi: (u·v)·w + (w·u)·v + (v·w)·u = 0

e qualche altro assioma.

In tal modo, lo spazio vettoriale V diviene un'algebra di Lie sul campo K. Credo però che si vada abbastanza lontano da quanto richiesto. Altre informazioni sul prodotto vettoriale e sulla possibilità di generalizzarlo si possono trovare nel sito:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product

Libero Verardi- Dipartimento di matematica Università di Bologna